不确定性和误差（容差）的含义和区别是什么

不确定性与误差

在测量长度、重量或时间等物理量时，测量过程中可能会出现错误，从而影响测量结果。这些错误被称为误差。误差可能由多种因素引起，例如测量工具故障、读取测量值时的人为失误，或者测量系统存在的问题。例如，如果一个温度计出现故障，显示的温度不正确，那么用它进行的每一次读数都会有一定偏差。这使得我们的测量结果具有不确定性，因为它们并不精确等同于真实值。当我们不确定一个测量值的真实大小时，我们会考虑一个可能值的范围，这个范围被称为不确定度范围。理解不确定性和误差至关重要，因为它能帮助我们基于现有信息做出更明智的决策。

不确定性与误差的区别
误差和不确定性都是测量中的重要概念，但它们有着不同的含义。误差是实际值与测量值之间的数值差异。而不确定性则是基于测量的可靠性，对实际值可能所在范围的一种估计。

让我们以测量电阻为例。假设一种材料电阻的公认值是 3.4 欧姆。当我们测量两次，得到的值分别是 3.35 欧姆和 3.41 欧姆，这些测量值与公认值之间的差异就是误差。两个测量值之间的差值范围，即 0.06 欧姆（3.41 – 3.35），代表了不确定度范围。

另一个例子是在实验室中测量重力常数。重力加速度的公认标准值是 9.81 米 / 秒 ²。在一个使用单摆的实验中，我们得到了诸如 9.76 米 / 秒 ²、9.6 米 / 秒 ²、9.89 米 / 秒 ² 和 9.9 米 / 秒 ² 这样的值。这些与公认值的偏差就是误差。这些测量值的平均值是 9.78 米 / 秒 ²，不确定度范围是从 9.6 米 / 秒 ² 到 9.9 米 / 秒 ²。绝对不确定度大约是这个范围的一半，计算方法是（9.9 – 9.6）÷ 2 = 0.15 米 / 秒 ²。
理解误差和不确定性有助于我们评估测量的可靠性，并确定实际物理量可能的取值范围。这些知识对于基于收集到的数据做出有根据的决策至关重要。

什么是均值的标准误差？
均值的标准误差是一个表示测量值与均值偏离程度的数值。要计算它，请按照以下步骤进行：
• 计算均值：求出所有测量值的平均值。
• 相减并平方：用每个测量值减去均值，然后将结果平方。
• 求和：将所有相减后平方的值相加。
• 除以样本数量的平方根：将上述和除以测量总次数的平方根。

例如，假设你称一个物体的重量四次。已知该物体的精确重量是 3.0 千克，精度小于 1 克。你的四次测量值分别是 3.001 千克、2.997 千克、3.003 千克和 3.002 千克。
• 首先，计算均值：（3.001 千克 + 2.997 千克 + 3.003 千克 + 3.002 千克）÷ 4 = 3.00075 千克。由于我们的测量值小数点后只有三位有效数字，所以我们取这个值为 3.000 千克。
• 然后，用每个测量值减去均值并平方结果：
（3.001 千克 – 3.000 千克）² = 0.000001 千克 ²
（2.997 千克 – 3.000 千克）² = 0.000009 千克 ²
（3.003 千克 – 3.000 千克）² = 0.000009 千克 ²
（3.002 千克 – 3.000 千克）² = 0.000004 千克 ²
考虑到小数点后只保留三位有效数字，我们可以将第一个值近似为 0。
• 接着，将所有平方差值相加：0 + 0.000009 千克 ² + 0.000009 千克 ² + 0.000004 千克 ² = 0.000022 千克 ²
• 最后，除以样本数量的平方根（√4 = 2）：√（0.000022 千克 ² ÷ 4） = 0.002 千克

在这种情况下，均值的标准误差（σx）非常小，这表明我们的测量值非常接近物体重量的真实值。

什么是校准和公差？
公差是指一个测量值所允许的最大值和最小值之间的范围。另一方面，校准是调整测量仪器的过程，以确保其所有测量值都在公差范围内。为了校准一台仪器，需要将其测量结果与更精确和准确的仪器的测量结果进行比较，或者与已知高精度值的参考对象进行比较。
一个例子是秤的校准。

校准不是一次性的任务。秤需要定期重新校准以保持其准确性。温度、湿度和气压等环境因素会影响秤的读数。例如，温度的变化会导致秤的金属部件膨胀或收缩，从而导致测量不准确。因此，在校准时考虑这些环境因素是很重要的。

此外，在校准秤时，使用合适的砝码至关重要。使用过重或过轻的砝码会扭曲校准过程并影响秤的准确性。总的来说，校准秤是获得准确可靠测量值的重要步骤。遵循正确的校准程序并定期重新校准对于保持秤的准确性至关重要。

如何报告不确定性？
在呈现测量结果时，报告相关的不确定性很重要。这有助于其他人了解测量中可能存在的变化以及对所报告值的置信程度。

例如，如果我们测量一个电阻值为 4.5 欧姆，不确定度为 0.1 欧姆，我们将其报告为 4.5 ± 0.1 欧姆。这表明我们有信心电阻的真实值在 4.4 欧姆到 4.6 欧姆的范围内。

不确定度值在许多领域都很重要，包括制造、设计、建筑、机械和医学。它们在准确测量和报告结果方面起着至关重要的作用。通过报告不确定度值，我们可以尽量减少误差并提高测量质量，这在科学研究、工程和医疗保健领域至关重要。

什么是绝对误差和相对误差？
测量误差可以分为绝对误差和相对误差。绝对误差描述的是测量值与预期值之间的差异。而相对误差则衡量这个差异相对于真实值的显著程度。

• 绝对误差：
计算绝对误差的公式为：绝对误差 = 测量值 – 预期值。例如，如果预期值是 1.4 米 / 秒，测量值是 1.42 米 / 秒，那么绝对误差就是 1.42 米 / 秒 – 1.4 米 / 秒 = 0.02 米 / 秒。
值得注意的是，绝对误差可以是正的也可以是负的。正的绝对误差意味着测量值高于预期值，而负的绝对误差意味着测量值低于预期值。在这个例子中，由于绝对误差是正的，所以测量值略高于预期值。
虽然绝对误差对于评估单个测量的准确性很有用，但它并不能提供关于测量精度的信息。要评估精度，我们需要查看对同一物理量进行多次测量所得到的值的范围。

• 相对误差：
相对误差是测量值与预期值之间差异的一种度量，以预期值的百分比表示。它对于比较不同数量级的值的误差特别有用，因为它考虑了所测量值的大小。

相对误差的公式为：相对误差 = （绝对误差 / 预期值）× 100%。使用前面的例子，其中绝对误差是 0.02 米 / 秒，预期值是 1.4 米 / 秒，相对误差就是（0.02 米 / 秒 / 1.4 米 / 秒）× 100% ≈ 1.43%。

正如我们所看到的，相对误差比绝对误差小，因为它考虑了数值的大小。在这个例子中，测量值与预期值之间的差异仅为预期值的 1.43%。

另一个说明数量级差异的例子是卫星图像中的误差。如果卫星图像中的误差是 10 米，当从人类尺度的距离来看时，这似乎很大。然而，如果图像的尺寸是 10 千米 ×10 千米，10 米的误差相对较小，因为它仅占总面积的 0.1%（因为 10 千米 = 10000 米，且 10 / （10000×10000）× 100% = 0.0001%，这是面积比例）。以百分比形式报告相对误差有助于读者更好地理解误差相对于预期值的重要性。

绘制不确定性和误差
不确定性通常在图表中用误差棒表示。这些误差棒从测量值延伸到最大和最小可能值。最大值和最小值之间的范围就是不确定度范围。请看下面不确定性误差棒的例子：

例如，考虑一个实验，你测量一个在 10 米距离内运动的球的速度。球在运动过程中速度在减小。你标记了 1 米的间隔，并使用秒表测量球在每个间隔之间运动所需的时间。由于你启动和停止秒表时的反应延迟，存在 0.2 米 / 秒的不确定性。假设你得到的速度值分别是 1.4 米 / 秒、1.22 米 / 秒、1.15 米 / 秒和 1.01 米 / 秒。包括不确定性的测量结果报告为 1.4 ± 0.2 米 / 秒、1.22 ± 0.2 米 / 秒、1.15 ± 0.2 米 / 秒和 1.01 ± 0.2 米 / 秒。结果的图表可以如下报告：

在图表中，点代表实际测量值（1.4 米 / 秒、1.22 米 / 秒、1.15 米 / 秒和 1.01 米 / 秒），从每个点延伸出的误差棒代表 ±0.2 米 / 秒的不确定性。这种直观的表示有助于快速了解每个测量值的真实值可能所在的范围。

不确定性和误差是如何传播的？
当使用带有不确定性和误差的值进行计算时，在计算中考虑这些不确定性至关重要，因为它们会影响最终结果的准确性。这个过程被称为不确定性传播或误差传播，它可能导致与实际数据的偏差，也称为数据偏差。

有两种常见的不确定性传播方法：百分比误差法和绝对误差法。在百分比误差法中，我们计算每个测量值的相对误差，然后将它们相加来确定总的百分比误差传播。在绝对误差法中，我们将每个测量值的绝对误差相加来得到总的绝对误差传播。

例如，如果我们测量重力加速度为 9.91 米 / 秒 ²，不确定度为 ±0.1 米 / 秒 ²，测量一个物体的质量为 2 ± 0.001 千克，重力加速度的相对误差是（0.1 / 9.91）× 100% ≈ 1%，质量的相对误差是（0.001 / 2）× 100% = 0.05%。为了找到总的百分比误差传播，我们将这些相对误差相加。

为了计算一个计算结果中的不确定性传播，我们需要在计算预期值时考虑不确定性。例如，当使用公式 F = m * g（其中 m 是质量，g 是重力加速度）计算一个下落物体产生的力时，我们使用测量值及其不确定度来计算力。然后结果表示为 “预期值 ± 不确定度值”。
在我们的结果中报告不确定性和误差至关重要，这样其他人就可以评估我们测量和计算的准确性和可靠性。

报告不确定性
为了报告一个带有不确定性的测量结果，我们写出计算值，然后加上不确定度。为了清晰起见，我们也可以将该量用括号括起来。例如，如果我们测量一个力，发现力的不确定度是 0.21 牛顿，我们的测量值是 19.62 牛顿，我们将其报告为 19.62 ± 0.21 牛顿或（19.62 ± 0.21）牛。

不确定性的传播
在计算中传播不确定性时，对于不同的算术运算有特定的规则：

• 加法和减法：当进行加法或减法运算时，总不确定度是各个不确定度之和。例如，如果我们有两个测量值（A ± a）和（B ± b），将它们相加，结果是（A + B）± （a + b）。假设我们要将两段金属的长度相加，长度分别是 1.3 米和 1.2 米，不确定度分别是 ±0.05 米和 ±0.01 米。总长度是 1.3 + 1.2 = 1.5 米，总不确定度是 ±（0.05 米 + 0.01 米） = ±0.06 米。
• 乘以一个精确数：当一个值乘以一个精确数时，总不确定度是通过将不确定度乘以这个精确数来计算的。例如，如果我们要计算一个半径 r = 1 ± 0.1 米的圆的面积，圆的面积公式是 A = πr²。面积的不确定度是 2πr×0.1。代入 r = 1 米，我们得到 2×3.1415×1×0.1 = 0.6283 平方米（近似不确定度值）。
• 除以一个精确数：当一个值除以一个精确数时，总不确定度是通过将不确定度除以这个精确值来计算的。例如，如果我们有一个长度为 1.2 米，不确定度为 ±0.03 米，将其除以 5，结果的不确定度是 ±0.03 / 5 = ±0.006 米。

数据偏差
当使用带有不确定性的值进行计算时，得到的数据将与实际数据存在偏差。我们可以使用数据偏差（用符号 “δ” 表示）来计算这种偏差。数据偏差的计算取决于对这些值所进行的运算类型。
• 加法或减法后的数据偏差：为了计算结果的数据偏差，我们使用公式 δ = √（a² + b²），其中 a 和 b 是相加或相减的值的不确定度。例如，如果我们减去两个值，A = 10 ± 0.2 和 B = 8 ± 0.3，结果是 C = A – B = 2 ± 0.4。C 的数据偏差是 δ = √（0.2² + 0.3²） = √（0.04 + 0.09） = 0.36。
• 乘法或除法后的数据偏差：对于几个测量值的乘法或除法运算，我们使用不确定度与实际值的比率。如果我们有两个值 A ± a 和 B ± b，将它们相乘，结果是 C = A * B ± （A*B） * √（（a/A）² + （b/B）²）。如果有两个以上的值，我们在方程中添加更多项。
• 涉及指数时的数据偏差：如果一个值有指数，我们将指数乘以不确定度，然后应用乘法和除法公式。例如，如果我们有 y = （A ± a）² * （B ± b）³，数据偏差是 δ = √（（2Aa）² + （3Bb）²）。如果有两个以上的值，在方程中添加更多项。

计算数据偏差有助于我们评估不确定性对结果的影响，并确定我们测量和计算的准确性和可靠性。

在处理误差和不确定性的过程中，对数字进行舍入常常成为使数值更易于处理的一个重要步骤。当处理极小或极大的不确定性，且这些不确定性对整体结果的影响可忽略不计时，尤其如此。舍入可以是向上取整（进一位）或向下取整（舍去）。

例如，在测量地球的重力常数时，测量值可能是 9.81 米 / 秒 ²，不确定度为 ±0.10003 米 / 秒 ²。在这里，不确定度值小数点后第一位之后的部分，即 0.0003，与整体不确定度 0.1 相比非常小。因此，合理的做法是舍去小数点后第一位之后的数字，将不确定度舍入为 ±0.1 米 / 秒 ²，因为这种简化不会显著影响测量的完整性。

然而，至关重要的是要记住，舍入本身可能会引入额外的误差，特别是当有效数字的位数减少到非常低的水平时。因此，在决定对数值进行舍入或截断之前，仔细评估手头测量和计算所需的精度水平至关重要。

整数和小数的舍入
对数字进行舍入的过程需要确定哪些值是有效数字，同时要考虑数据的大小以及测量和计算所需的精度水平。在舍入时，有两种主要方法：向上舍入和向下舍入。这两种方法的选择取决于最低有效数字后面紧接着的数字。

向上舍入时，我们去掉不太重要的数字。例如，3.25 可以向上舍入为 3.3。相反，向下舍入时，我们也会舍弃被认为不太相关的数字。例如，76.24 可以向下舍入为 76.2。

一般来说，如果一个数字的末尾数字在 1 到 4 的范围内，就向下舍入。如果末尾数字在 5 到 9 的范围内，就向上舍入。值得注意的是，当末尾数字是 5 时，通常向上舍入。例如，3.15 和 3.16 都向上舍入为 3.2，而 3.14 则向下舍入为 3.1。

当面对一个问题时，我们通常可以从给定的数据中推断出所需的小数位数（或有效数字）。例如，如果一个图表或一组数据给出的数字只有两位小数，那么合理的预期是我们的答案也应该保留两位小数。密切关注所需的精度水平